貝氏定理

May 06, 2022

貝氏定理（Bayes’ theorem）是機率論及統計中一個公式簡單並且十分常見的定理，尤其常見用於基於機率的事件推論計算中，然而卻不一定能夠有直觀的理解，即便理解公式的推導卻不能夠內化，貝氏定理的基本核心概念為基於觀測到的相關事件發生與否，修正已知的機率。舉理來說，在已知下雨機率為 10% 的地區，若觀測到天氣為陰天，則會提升心中認為會下雨的機率。這是基於過往的經驗修正，在觀測雨天的 100 天中，陰天的天數為 80 天，因此可以推斷陰天時的下雨機率會是較高的。貝氏定理可以從在雨天中會是陰天的條件機率推論出在陰天時下雨的條件機率，因此貝氏定理彷彿是機率論中的畢氏定理，用於轉換條件機率。

公式推導及詮釋

貝氏定理的公式如下：

P(A|B) = \frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}

基於條件機率的定義

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

= \frac{\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \times P(A)}{P(B)}

= \frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}

其中公式中的各個部位詮釋如下

$P(A)$ 稱為事件 A 的事前機率或是先驗機率，代表著在未觀測到相關事件前 A 事件會發生的機率，舉例來說可以是在還不知道明天天氣如何的情況下，明天的雨天機率
$P(A|B)$ 稱為事件 A 的事後機率或是後驗機率，代表著在觀測到其他相關事件發生的情況下，A 事件發生的機率，舉例即是在觀測到陰天情況的下雨機率、或在觀測到一個人進星巴克他會喝咖啡的機率等。
$P(B)$ 為事件 B 的事前機率，其位於分母即視 B 事件發生為條件，也可以視為是標準化常數。
$P(B|A)$ 為事件 B 的事後機率，其可以視為觀測 A 事件與 A,B 事件同時發生的相對比率並用於修正 $P(A)$ 以計算出 A,B 都會發生的機率為何，但在 $P(B)$ （B 事件發生）的前提下，該比率修正將會可能會放大或是縮小 $P(A)$ 的數值。